Jensen公式 (Jensen's Formula)

設$S$是一包含閉球$B_r = \{z \in \mathbb{C} : |z| \le r\}$的開集，而$f: S \to \mathbb{C}$是$S$上一解析函數。設$f$在$B_r$的邊界上無零點，在其內有零點$\rho_1,..., \rho_n$（多重零點重複數）。則$$\frac 1 {2 \pi} \int_0^{2 \pi} \log |f (r e^{i \theta})| \ d \theta = \log|f (0)| + \sum_{k = 1}^n (\log r - \log |\rho_k|)$$

證明

令$\displaystyle f \left({z}\right) = \frac{r^2-z \overline{\rho_1}}{r(z - \rho_1)} \cdots \frac{r^2-z \overline{\rho_n}}{r(z - \rho_n)} g \left({z}\right)$，則$g \left({z}\right) \ne 0$ for $z \in D_r$。

注意到積分區域$|z|=r$，則先取共軛，再提出$|z/r|=1$，結合$1/z=\overline{z}/r^2$，易得$\displaystyle\left|\frac{r^2-z\overline{\rho_k}}{r(z-\rho_k)}\right|=1$。從而公式對$\displaystyle\frac{r^2-z \overline{\rho_k}}{r(z - \rho_k)}$成立。

若$r^2-z \overline{\rho_i}=0$，則$|z| = r^2/|\overline{\rho_i}|>r$；因此$g(z)$在$B_r$上全純且非$0$。而由調和函數的均值性質有$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log |g(r e^{i \theta})| d\theta =\log g(0)$。從而公式對$g(z)$成立。

綜上，公式對$f(z)$成立。

應用

練習